Voici deux textes que je n’ai écrit que pour le bonheur de comprendre.

Les résultats de Kummer sur le théorème de Fermat

Fermat a écrit en 1621 avoir démontré que pour tout entier n plus grand que deux, la somme de deux entiers à la puissances n ne pouvait être un entier à la puissance n. Il n’a pas laissé la démonstration.

Le résultat a été démontré pour n=4 (Fermat, 1621), n= 3 (Euler, 1753), n= 5 (Dirchlet-Legendre, 1825), n =7 (Lamé, 1839) avec chaque fois des démonstrations plus difficiles.

Dans une série de papiers de 1847 à 1857, Kummer a développé une méthode aboutissant à la preuve de ce résultat pour presque tous les entiers de 1 à 100.

Cette méthode a été améliorée (Wieferich, Vandiver) et le résultat a été prouvé pour tous les entiers plus petits que 2000.

En 1992, Wiles a démontré le résultat pour tous les entiers par une méthode tout à fait différente.

Ce texte propose une démonstration de la méthode de Kummer. Cette démonstration est complète.

Elle repose sur des éléments de la théorie des nombres algébriques, du corps cyclotomique et de sa complétion L-adique. Ces éléments sont donnés dans des annexes et pour la plupart complètement prouvés.

La plupart des résultats présentés sont issus du livre Théorie des nombres de Borevich & Shafarevich (1967). Divers emprunts ont été faits aux livres de Edwards (1996), Samuel (1967), Cohen (2007). Nous donnons une preuve du lemme de Kummer issue du traité de Hilbert (2013) à partir d’une présentation de Thakur (1999)

L’approche de Riemann du théorème des nombres premiers

Gauss a observé en 1792 que la densité des nombres premiers autour de x est de l’ordre de 1/log x.

Riemann (1859) en a proposé une démonstration dans un article très court (14
pages). Cette démonstration repose sur l’extension dans le domaine des nombres complexes, de la fonction ζ étudiée précédemment par Euler pour des nombres entiers et des nombres réels. Plusieurs arguments de Riemannn n’étaient pas complètement démontrés. Il a fallu 50 ans pour que la démonstration soit complétée. Les contributions principales sont dues à
Hadamard, de la Vallée Poussin et von Mangoldt.

Le texte suivant propose l’ensemble de la démonstration.

Il comprend en annexe les éléments théoriques nécessaires : fonctions holomorphes et analytiques, fonctions méromorphes et théorème des résidus, fonctions harmoniques, théorèmes de Jensen et théorème de factorisation de Hadamard.

Les démonstrations présentées proviennent de Blanchard (1969), Edwards (1974) et Titchmarsh & Heath-Brown (1986). La preuve du théorème de factorisation de Hadamard est issue de Dupuy (n.d.). Nous avons ajouté une preuve courte plus récente du théorème des nombres premiers due à Newman (1980). Les rappels sur les fonctions analytiques, holomorphes, méromorphes et harmoniques sont extraits de Cartan (1961).